当讨论 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a}$ 的极限时，我们需要考虑 $a$ 的不同取值范围。

当 $a > 1$ 时

由于 $a > 1$，则 $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$。

当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，因此 $a^{\frac{1}{n}} \to a^0 = 1$。

所以，当 $a > 1$ 时，$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$。

当 $a = 1$ 时

$\sqrt[n]{1} = 1$，无论 $n$ 取何值。

所以，当 $a = 1$ 时，$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$。

当 $0 < a < 1$ 时

由于 $0 < a < 1$，则 $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$。

当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，因此 $a^{\frac{1}{n}} \to a^0 = 1$。

所以，当 $0 < a < 1$ 时，$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$。

综上所述，无论 $a$ 取何值（$a \geq 0$），$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$。

因此，$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$。