对勾函数（也称为耐克函数、勾函数、双飞燕函数等）是一种形如 $f（x） = ax + \frac{b}{x}$ 的双曲函数，具有以下特性：

一、基本表达式与图像特征

表达式形式

对勾函数的标准形式为 $f（x） = ax + \frac{b}{x}$，其中 $a > 0$，$b > 0$。

图像特征

- 渐近线：

$y = ax$（当 $x \to \infty$）和 $x = 0$（垂直渐近线）。

- 对称性：关于原点对称（奇函数）。

- 极值点：在 $x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ 处取得最小值 $2\sqrt{ab}$，在 $x = -\sqrt{\frac{b}{a}}$ 处取得最大值 $-2\sqrt{ab}$。

二、最值公式

最小值：当 $x > 0$ 时，$f（x）_{\min} = 2\sqrt{ab}$，当且仅当 $x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ 取得。

最大值：当 $x < 0$ 时，$f（x）_{\max} = -2\sqrt{ab}$，当且仅当 $x = -\sqrt{\frac{b}{a}}$ 取得。

三、应用与扩展

实际应用：

常用于优化问题，例如求成本最小化或收益最大化。

扩展形式：

若 $a < 0$，则函数在 $x > 0$ 和 $x < 0$ 上分别单调递减，无极值。

四、注意事项

定义域为 $x \neq 0$，值域为 $（-\infty, -2\sqrt{ab}] \cup [2\sqrt{ab}, +\infty）$。

通过求导可验证极值点：$f'（x） = a - \frac{b}{x^2}$，令 $f'（x） = 0$ 可得极值点。

以上公式和特性综合了数学分析中的基本不等式和微分方法，是高中数学和高等数学中的重要内容。